Question

3．判斷函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{{x^2}+1}-1}}{{\sqrt{{x^2}+1}+1}}$的奇偶性并證明．

Answer 1

分析 可以看出該函數(shù)的定義域為R，為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義證明：求f（-x）=f（x）即可得證．

解答 解：此函數(shù)在R上為偶函數(shù)，證明如下：
函數(shù)的定義域為R；
∵$f（{-x}）=\frac{{\sqrt{{{（{-x}）}^2}+1}-1}}{{\sqrt{{{（{-x}）}^2}+1}+1}}=\frac{{\sqrt{{x^2}+1}-1}}{{\sqrt{{x^2}+1}+1}}=f（x）$；
∴f（x）在R上為偶函數(shù)．

點評 考查函數(shù)奇偶性的定義，以及根據(jù)偶函數(shù)的定義證明一函數(shù)為偶函數(shù)的方法和過程：求定義域，求f（-x）．