Question

給出下列四個命題：
①已知，則函數(shù)g（x）=f（2^x）在（0，1）上有唯一零點(diǎn)；
②對于函數(shù)的定義域中任意的x₁、x₂（x₁≠x₂）必有；
③已知f（x）=|2^-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），則必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定義在R上的兩個函數(shù)，對任意x、y∈R滿足關(guān)系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0時f（x）•g（x）≠0．則函數(shù)f（x）、g（x）都是奇函數(shù)．
其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：①通過方程組求得f（x），從而求得g（x），由g（x）=0即可判斷其正誤；
②可借助圖形判斷其正誤；
③可利用f（x）=|2^-x+1-1|在（a，b）上單調(diào)遞增，判斷③；
④分別判斷f（x），g（x）的奇偶性，即可判斷④的正誤．
解答：解：∵f（x）+2f（）=3x①，
∴2f（x）+f（）=②，
②×2-①得：f（x）=-x，
∴g（x）=f（2^x）=-2^x=，由g（x）=0解得x=，
∴函數(shù)g（x）=f（2^x）在（0，1）上有唯一零點(diǎn)；①正確；
②對于函數(shù)的定義域中任意的x₁、x₂（x₁≠x₂）必有，故②錯誤；
對于③f（x）=|2^-x+1-1|，
∵a＜b，f（a）＜f（b），
∴f（x）=|2^-x+1-1|在（a，b）上單調(diào)遞增，
∴f（x）=1-2^-x+1（2^-x+1-1＜0即x＞1），
∴b＞1，
∴0＜f（b）=|2^-b+1-1|=1-2^-b+1＜1，故③正確；
對于④，令x=0，有f（-y）+f（y）=0，f（-y）=-f（y）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∵x≠0時，f（x）•g（x）≠0，
∴g（-y）==g（y），
∴函數(shù)g（x）是偶函數(shù)，
∵④錯誤．
綜上所述，①③正確．
故答案為：①③．
點(diǎn)評：考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法，難點(diǎn)在于綜合考察函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，零點(diǎn)與最值，考察點(diǎn)跨度大，難度大，屬于難題．