Question

已知棱柱ABCD-A′B′C′D′，底面ABCD是邊長為a的菱形，∠BAD=60°，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，A′O⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：不論側(cè)棱AA′的長度為何值，總有平面AA′C′C⊥平面BB′D′D；
（Ⅱ）當(dāng)二面角B-DD′-C為45°時(shí)，求側(cè)棱AA′的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）分別以O(shè)A，OB，OA′為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，求出平面AA′C′C的一個(gè)法向量和平面BB′D′D的法向量，根據(jù)兩個(gè)平面的法向量垂直得到不論側(cè)棱AA′的長度為何值，總有平面AA′C′C⊥平面BB′D′D；
（Ⅱ）求出平面CDD′C′的法向量，結(jié)合二面角B-DD′-C為45°，求出h與a的關(guān)系，進(jìn)而利用勾股定理可得側(cè)棱AA′的長度．

解答： 證明：（Ⅰ）∵ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
又A′O⊥平面ABCD，
∴A′O⊥BD，A′O⊥AC，
分別以O(shè)A，OB，OA′為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
∵底面ABCD是邊長為a的菱形，∠BAD=60°，
∴A（

3 a

2

，0，0），B（0，

a

2

，0）．D（0，-

a

2

，0），
設(shè)OA′=h，則A′（0，0，h）．
顯然，平面AA′C′C的一個(gè)法向量為

m

=（0，1，0），
設(shè)平面BB′D′D的法向量為

n

=（x，y，z），
由

DB

=（0，a，0），

BB′

=

AA′

=（-

3 a

2

，0，h），

n ⊥ DB n ⊥ BB′

得：

n • DB =0 n • BB′ =0

，即

ay=0 - 3 a 2 x+hz=0

，
取x=1，則

n

=（1，0，

3 a

2h

），
則

m

•

n

=0，
即平面AA′C′C⊥平面BB′D′D，
故不論側(cè)棱AA′的長度為何值，總有平面AA′C′C⊥平面BB′D′D．
解：（Ⅱ）設(shè)平面CDD′C′的法向量為

p

=（x，y，z），
由

DC

=

AB

=（-

3 a

2

，

a

2

，0）.

DD′

=

AA′

=（-

3 a

2

，0，h），

p ⊥ DC p ⊥ DD′

得：

p • DC =0 p • DD′ =0

，即 

- 3 a 2 x+ a 2 y=0 - 3 a 2 x+hz=0

，
取x=1，則

p

=（1，

3

，

3 a

2h

），
則cos＜

n

，

p

＞=

1+ 3a2 4h2

1+ 3a2 4h2 4+ 3a2 4h2

=

1+ 3a2 4h2

4+ 3a2 4h2

，
又二面角B-DD′-C為45°，所以cos＜

n

，

p

＞=

2

2

，

1+ 3a2 4h2

4+ 3a2 4h2

=

2

2

，解得h²=

3a2

8

，
此時(shí)AA′=

h2+OA2

=

3a2 8 + 3a2 4

=

3 2

4

a．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面垂直的判定，二面角，平面與平面垂直的判定，其中建立空間坐標(biāo)系，將面面垂直問題和二面角問題，轉(zhuǎn)化為向量垂直和向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．