已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.
(Ⅰ)求a,b,c,d的值;
(Ⅱ)若x≥-2時,f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.
【答案】分析:(I)對f(x),g(x)進行求導,已知在交點處有相同的切線及曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),從而解出a,b,c,d的值;
(II)由(I)得出f(x),g(x)的解析式,再求出F(x)及它的導函數(shù),通過對k的討論,判斷出F(x)的最值,從而判斷出f(x)≤kg(x)恒成立,從而求出k的范圍.
解答:解:(I)由題意知f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4,
而f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4,
從而a=4,b=2,c=2,d=2;
(II)由(I)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1)
設F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1),
由題設得F(0)≥0,即k≥1,令F′(x)=0,得x1=-lnk,x2=-2,
(i)若1≤k≤e2,則-2<x1≤0,從而當x∈(-2,x1)時,F(xiàn)′(x)<0,當x∈(x1,+∞)時,F(xiàn)′(x)>0,
即F(x)在(-2,x1)上減,在(x1,+∞)上是增,故f(x)在[-2,+∞)上的最小值為F(x1),
而f(x1)=-x1(x1+2)≥0,故當x≥-2時,f(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立,
(ii)若k=e2,則F′(x)=2e2(x+2)(ex-e-2),從而當x∈(-2,+∞)時,F(xiàn)′(x)>0,
即F(x)在(-2,+∞)上是增,而f(-2)=0,故當x≥-2時,f(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立,
(i)ii若k>e2時,則F′(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0,故當x≥-2時,f(x)≤kg(x)不可能成立,
綜上,k的取值范圍是[1,e2].
點評:此題主要考查利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)恒成立問題,考查分類討論思想,解題的關鍵是能夠利用導數(shù)工具研究函數(shù)的性質,此題是一道中檔題.