精英家教網(wǎng)如圖,雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的離心率為
5
2
F1
、F2分別為左、右焦點(diǎn),M為左準(zhǔn)線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點(diǎn),且
F1M
.
F2M
=-
1
4

(I)求雙曲線的方程;
(II)設(shè)A(m,0)和B(
1
m
,0)
(0<m<1)是x軸上的兩點(diǎn).過點(diǎn)A作斜率不為0的直線l,使得l交雙曲線于C、D兩點(diǎn),作直線BC交雙曲線于另一點(diǎn)E.證明直線DE垂直于x軸.中心O為圓心,分別以a和b為半徑作大圓和.
分析:(I)設(shè)點(diǎn)M(x,y),根據(jù)題設(shè)條件聯(lián)立方程求得M的坐標(biāo),根據(jù)
F1M
.
F2M
=-
1
4
.
求得a,b和c的關(guān)系利用a2+b2=c2求得c,b和a,答案可得.
(II)設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),E(x3,y3),則可表示出直線l的方程,直線與雙曲線聯(lián)立方程,可求得x1x2的表達(dá)式,求得x2的表達(dá)式,同理可求得x3的表達(dá)式,最后得出以x2=x3,判斷出故直線DE垂直于x軸.
解答:(I)解:根據(jù)題設(shè)條件,F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0).
設(shè)點(diǎn)M(x,y),則x、y滿足
x=-
a2
c
y=-
b
a
x.

e=
c
a
=
5
2
,解得M(-
2a
5
,
2b
5
)

F1M
.
F2M
=(-
2a
5
+c,
2b
5
).(-
2a
5
-c,
2b
5
)
=
4
5
a2-c2+
4
5
b2=-
1
4
.

利用a2+b2=c2,得c2=
5
4
,于是a2=1,b2=
1
4
.

因此,所求雙曲線方程為x2-4y2=1.

(II)解:設(shè)點(diǎn)C(x1,y1),D(x2,y2),E(x3,y3),則直線l的方程為y=
y1
x1-m
(x-m).

于是C(x1,y1)、D(x2,y2)兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足
y=
y1
x1-m
(x-m)①
x2-4y2=1②

將①代入②得(x12-2x1m+m2-4y12)x2+8my12x-4y12m2-x12+2mx1-m2=0.
由已知,顯然m2-2x1m+1≠0.于是x1x2=-
x12-2mx1+m2x12
m2-2x1m+1
.

因?yàn)閤1≠0,得x2=-
x1-2m+m2x1
m2-2x1m+1
.

同理,C(x1,y1)、E(x3,y3)兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足
y=
y1
x1-
1
m
(x-
1
m
)
x2-4y2=1.

可解得x3=-
x1-2
1
m
+(
1
m
)
2
x1
(
1
m
)
2
-2x1m+1
=-
m2x1-2m+x1
1-2x1m+m2
.

所以x2=x3,故直線DE垂直于x軸.
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法,考查推理及運(yùn)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•湖北)如圖,雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0)的兩頂點(diǎn)為A1,A2,虛軸兩端點(diǎn)為B1,B2,兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2,切點(diǎn)分別為A,B,C,D.則:
(Ⅰ)雙曲線的離心率e=
5
+1
2
5
+1
2
;
(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值
S1
S2
=
5
+2
2
5
+2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•天津模擬)如圖,橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)與一等軸雙曲線相交,M是其中一個(gè)交點(diǎn),并且雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2,雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)A1,A2,△MF1F2的周長(zhǎng)為4(
2
+1).設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.
(Ⅰ)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明k1•k2=1;
(Ⅲ)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的漸近線為l1,l2,離心率為
13
3
,P1∈l1,P2∈l2,且
OP1
OP2
=t
,
P2P
PP1
(λ>0),P在雙曲線C右支上.
(1)若△P1OP2的面積為6,求t的值;
(2)t=5時(shí),求a最大時(shí)雙曲線C的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,以F1F2為直徑的圓O與雙曲線交于A、B、C、D四點(diǎn),若AB交y軸于點(diǎn)H,圓O與y軸正半軸相交于點(diǎn)P,且
OH
=(3+2
3
HP

(1)若雙曲線的焦距為2,求雙曲線的方程;
(2)求雙曲線的離心率.

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同步練習(xí)冊(cè)答案