Question

已知函數(shù)f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值為g（a）．
（1）設(shè)t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范圍；
（2）求：g（a）的解析式；
（3）求：探究g（a）的單調(diào)性和最值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)根號(hào)內(nèi)有意義求出自變量的范圍，再對(duì)t兩邊平方結(jié)合x的范圍即可求出結(jié)論；
（2）直接根據(jù)

1-x2

=

1

2

t²-1即可求出m（t），g（a）即為函數(shù)M（t）=

1

2

at²+t-a在t∈[

2

，2]的最大值；然后再結(jié)合二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法分對(duì)稱軸和區(qū)間的三種位置關(guān)系分別討論即可．（注意開口方向）
（3）①當(dāng)a＞-

1

2

時(shí)，g（a）=a+2是增函數(shù)，值域?yàn)椋?span id="nxlt5pb" class="MathJye">

3

2

，+∞）；②當(dāng)-

2

2

＜a≤-

1

2

時(shí)，g（a）=-a-

1

2a

是增函數(shù)，g（a）的值域?yàn)椋?span id="zvn7pz1" class="MathJye">

2

，

3

2

]；③當(dāng)a≤-

2

2

時(shí)，g（a）=

2

是常函數(shù)，g（a）的值域?yàn)閧

2

}．由此能求出g（a）的單調(diào)性和最值．

解答：解：（1）令t=

1+x

+

1-x

，
要使t有意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t²=2+2

1-x2

∈[2，4]，t≥0．
∴t的取值范圍[

2

，2]．
（2）由（1）知，

1-x2

=

1

2

t²-1
∴M（t）=a（

1

2

t²-1）+t=

1

2

at²+t-a，（

2

≤t≤2）
由題意得g（a）即為函數(shù)M（t）=

1

2

at²+t-a在t∈[

2

，2]的最大值，
注意到直線t=-

1

a

是拋物線M（t）的對(duì)稱軸，分別分以下情況討論．
當(dāng)a＞0時(shí)，y=M（t）在t∈[

2

，2]上單調(diào)遞增，∴g（a）=M（2）=a+2．
當(dāng)a=0時(shí)，M（t）=t，t∈[

2

，2），∴g（a）=2；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=M（t），t∈[

2

，2]圖象開口向下；
若t=-

1

a

∈（0，

2

]，即a≤-

2

2

時(shí)，則g（a）=M（

2

）=

2

；
若t=-

1

a

∈（

2

，2]即-

2

2

＜a≤-

1

2

時(shí)，則g（a）=M（-

1

a

）=-a-

1

2a

；
若t=-

1

a

∈（2，+∞），-

1

2

＜a＜0時(shí)，則g（a）=M（2）=a+2．
綜上得：g（a）=

a+2，a＞- 1 2 -a- 1 2a ，- 2 2 ＜a≤- 1 2 2 ，a≤- 2 2

．
（3）①當(dāng)a＞-

1

2

時(shí)，g（a）=a+2是增函數(shù)，值域?yàn)椋?span id="n5t191j" class="MathJye">

3

2

，+∞）；
②當(dāng)-

2

2

＜a≤-

1

2

時(shí)，g（a）=-a-

1

2a

是增函數(shù)，g（a）的值域?yàn)椋?span id="5nfd3jp" class="MathJye">

2

，

3

2

]；
③當(dāng)a≤-

2

2

時(shí)，g（a）=

2

是常函數(shù)，g（a）的值域?yàn)閧

2

}．
綜上所述，g（a）=

a+2，a＞- 1 2 -a- 1 2a ，- 2 2 ＜a≤- 1 2 2 ，a≤- 2 2

的最小值為

2

，無最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察分段函數(shù)的應(yīng)用問題以及分類討論思想的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵在于第一問中的t的取值范圍不能出錯(cuò)．而第三問涉及到二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值討論，一定要注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系．