Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)（1，

1

2

）作圓x²+y²=1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是

x2

5

+

y2

4

=1

．

Answer 1

分析：設(shè)過(guò)點(diǎn)（1，

1

2

）的圓x²+y²=1的切線為l，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式，結(jié)合討論可得直線l分別切圓x²+y²=1相切于點(diǎn)A（1，0）和B（0，2）．然后求出直線AB的方程，從而得到直線AB與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，得到橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，最后根據(jù)橢圓的基本概念即可求出橢圓的方程．

解答：解：設(shè)過(guò)點(diǎn)（1，

1

2

）的圓x²+y²=1的切線為l：y-

1

2

=k（x-1），即kx-y-k+

1

2

=0
①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，k不存在，直線方程為x=1，恰好與圓x²+y²=1相切于點(diǎn)A（1，0）；
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線l的距離為：d=

|-k+ 1 2 |

k2+1

=1，解之得k=-

3

4

，
此時(shí)直線l的方程為y=-

3

4

x+

5

4

，l切圓x²+y²=1相切于點(diǎn)B（

3

5

，

4

5

）；
因此，直線AB斜率為k₁=

0- 4 5

1- 3 5

=-2，直線AB方程為y=-2（x-1）
∴直線AB交x軸交于點(diǎn)A（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，2）．
橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)為（1，0），上頂點(diǎn)為（0，2）
∴c=1，b=2，可得a²=b²+c²=5，橢圓方程為

x2

5

+

y2

4

=1
故答案為：

x2

5

+

y2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、橢圓中三參數(shù)的關(guān)系：a²=b²+c²．