Question

已知數列{a_n}滿足S_n+a_n=2n+1,
(1)寫出a₁,a₂,a_3,并推測a_n的表達式,(2)用數學歸納法證明所得的結論.

Answer 1

(1)由S_n+a_n=2n+1得a₁=, a₂=, a₃=, ∴a_n= 
(2)證明：當n=1時成立. 假設n=k時命題成立,即a_k=,   
當n=k+1時,a₁+a₂+…a_k+a_k+1+a_k+1=2(k+1)+1,  
∵a₁+a₂+…a_k =2k+1-a_k, ∴2a_k+1=4-  ,     ∴a_k+1=2-成立.
根據上述知對于任何自然數n，結論成立.

略