Question

設(shè)橢圓的離心率，右焦點到直線的距離，O為坐標(biāo)原點．
（I）求橢圓C的方程；
（II）過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點，證明點O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長度的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用離心率求得a和c的關(guān)系式，同時利用點到直線的距離求得a，b和c的關(guān)系最后聯(lián)立才求得a和b，則橢圓的方程可得．
（II）設(shè)出A，B和直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用OA⊥OB推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，
求得m和k的關(guān)系式，進(jìn)而利用點到直線的距離求得O到直線AB的距離為定值，進(jìn)而利用基本不等式求得OA=OB時AB長度最小，最后根據(jù)求得AB的坐標(biāo)值．
解答：解：（I）由，∴．
由右焦點到直線的距離為，
得：，
解得．
所以橢圓C的方程為．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=kx+m，
與橢圓聯(lián)立消去y得3x²+4（k²x²+2kmx+m²）-12=0，．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0．
即（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，∴，
整理得7m²=12（k²+1）
所以O(shè)到直線AB的距離．為定值
∵OA⊥OB，∴OA²+OB²=AB²≥2OA•OB，
當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時取“=”號．
由，
∴，
即弦AB的長度的最小值是．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力和基本的運算能力．