Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1，(x≤0) f(x-2)+1，(x＞0)

，把函數(shù)g（x）=f（x）-

1

2

x的偶數(shù)零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的前n項(xiàng)的和S_n，則S₂₀₁₅=（　　）

• A、1007×2015
• B、1008×2015
• C、2014×2015
• D、2015×2016

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)x≤0時(shí)，由2x-1=

1

2

x，解得x=-1或0，可得a₁=0．當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）-f（x-2）=1，可得f（2）=1，f（4）=2，a₂=2．同理可得a_n=2（n-1），再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：當(dāng)x≤0時(shí)，由2x-1=

1

2

x，解得x=-1或0，∴a₁=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）-f（x-2）=1，
∴f（2）-f（0）=1，f（4）-f（2）=1，可得f（4）=2，∴a₂=2．
同理可得a_n=2（n-1），
∴S₂₀₁₅=

2015(0+2×2015-2)

2

=2014×2015．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了猜想歸納的能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．