Question

等差數列{a_n}中，a₁，a₂，a₃分別是下表第一、二、三列中的某一個數，且a₁，a₂，a₃中的任何兩個數不在下表的同一行．

	第一列	第二列	第三列
第一行	-3	3	1
第二行	5	0	2
第三行	-1	2	0

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足：，設數列{b_n}的前n項和S_n（n∈N^*），證明：S_n＜2．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a₁=-3時，不合題意；當a₁=5時，不合題意；
當a₁=-1時，當且僅當a₂=0，a₃=1時符合題意；
因此a₁=-1，a₂=0，a₃=1，
所以等差數列{a_n}的公差d=1，
故a_n=-1+（n-1）•1=n-2．…（4分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知a_n=n-2則．…（5分）
∵①
=+…+②…（8分）
①-②得：==×
所以 ＜2…（12分）
分析：（Ⅰ）先要結合所給列表充分討論符合要求的所有情況，根據符合的情況進一步分析公差進而求得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）首先要利用第（Ⅰ）問的結果對數列數列{a_n}，進而可求b_n，然后結合通項的特點，利用錯位相減法進行數列的前n項和，即可證明
點評：本題考查的是數列求和問題．在解答的過程當中充分體現了分類討論的思想、錯位相減求和的方法、等差數列通項的求法以及運算能力