Question

已知函數(shù)f（x）=

x+1-a

a-x

（a∈R且x≠a）．
（1）證明：對(duì)定義域內(nèi)所有x，f（x）+2+f（2a-x）恒為定值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先根據(jù)已知得到f（2a-x），帶入f（x）+2+f（2a-x）直接運(yùn)算即可；
（2）分情況討論x≥a-1和x＜a-1兩類情況，去掉絕對(duì)值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可確定g（x）的最小值．

解答： 解（1）證明：∵f（x）=

x+1-a

a-x

，
∴f(2a-x)=

2a-x+1-a

a-2a+x

，
∴f(x)+2+f(2a-x)=

x+1-a

a-x

+2+

2a-x+1-a

a-2a+x

=

x+1-a

a-x

+2+

a-x+1

x-a

=

x+1-a+2a-2x-a+x-1

a-x

=0為定值
∴命題得證．
（2）g（x）=x²+|x+1-a|（x≠a）
①當(dāng)x≥a-1且x≠a時(shí)，g(x)=x2+x+1-a=(x+

1

2

)2+

3

4

-a
如果a-1≥-

1

2

即a≥

1

2

時(shí)，則函數(shù)在[a-1，a）和（a，+∞）上單調(diào)遞增g(x)min=g(a-1)=(a-1)2
如果a-1＜-

1

2

即當(dāng)a＜

1

2

且a≠-

1

2

時(shí)，g(x)min=g(-

1

2

)=

3

4

-a
當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，g（x）最小值不存在；
②當(dāng)x≤a-1時(shí)g(x)=x2-x-1+a=(x-

1

2

)2+a-

5

4

如果a-1＞

1

2

即a＞

3

2

時(shí)g(x)min=g(

1

2

)=a-

5

4

如果a-1≤

1

2

即a≤

3

2

時(shí)g(x)在(-∞，a-1)上為減函數(shù)g(x)min=g(a-1)=(a-1)2
當(dāng)a＞

3

2

時(shí)(a-1)2-(a-

5

4

)=(a-

3

2

)2＞0，當(dāng)a＜

1

2

時(shí)(a-1)2-(

3

4

-a)=(a-

1

2

)2＞0
綜合得：當(dāng)a＜

1

2

且a≠-

1

2

時(shí)  g（x）最小值是

3

4

-a
當(dāng)

1

2

≤a≤

3

2

時(shí) g（x）最小值是（a-1）²；
 當(dāng)a＞

3

2

時(shí) g（x）最小值為a-

5

4

當(dāng)a=-

1

2

時(shí)  g（x）最小值不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值函數(shù)的化簡，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．