Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1，其中a∈R，且a≠0．
（Ⅰ）若f（x）的最小值為-1，求a的值；
（Ⅱ）求y=|f（x）|在區(qū)間[0，|a|]上的最大值；
（Ⅲ）若方程|f（x）|=x-1在區(qū)間（0，+∞）有兩個不相等實根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）配方求出最小值即可得出；-1=1-

a2

4

，a²=8，所以a=±2

2

，
（Ⅱ）分類求解：當(dāng)|1-

a2

4

|≤1，即

2a2+1，a＞0 1，-2 2 ≤a＜0 a2 4 -1，a＜-2 2

時，|f（x）|_max=|f（0）|=1，當(dāng)|1-

a2

4

|＞1，即a＜-2

2

時，|f（x）|_max=

a2

4

-1
（Ⅲ）①當(dāng)a＞0時|f（x）|在（0，+∞）單調(diào)遞增，②當(dāng)a＜0時，1-

a2

4

≥0，得出

△=(a-1)2-8＞0 1-a＞0

，③當(dāng)a＜-2時，設(shè)方程x²+ax+1=0的2個根為x₁，x₂（x₁＜x₂），判斷即可得出答案，總結(jié)即可

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x²+ax+1，其中a∈R，且a≠0．
∴f（x）=（x+

a

2

）²+1-

a2

4

，其中a∈R，且a≠0．
∴若f（x）的最小值為-1=1-

a2

4

，a²=8，所以a=±2

2

，
（Ⅱ）①當(dāng)a＞0時，y=|f（x）|在區(qū)間[0，|a|]上單調(diào)遞增，最大值=|f（a）|=2a²+1；
②當(dāng)a＜0時，f（0）=f（|a|）=1，
f（-

a

2

）=1-

a2

4

，
當(dāng)|1-

a2

4

|≤1，即

2a2+1，a＞0 1，-2 2 ≤a＜0 a2 4 -1，a＜-2 2

時，|f（x）|_max=|f（0）|=1，
當(dāng)|1-

a2

4

|＞1，即a＜-2

2

時，|f（x）|_max=

a2

4

-1
故y=|f（x）|在區(qū)間[0，|a|]上的最大值，|f（x）|_max=
（Ⅲ）設(shè)g（x）=x-1，
①當(dāng)a＞0時|f（x）|在（0，+∞）單調(diào)遞增，
此時方程|f（x）|=g（x）沒有根，

②當(dāng)a＜0時，1-

a2

4

≥0，即-2≤a＜0時，因為
x²+ax+1=x-1，有2個正根，所以

△=(a-1)2-8＞0 1-a＞0

，
得-2≤a＜1-2

2

③當(dāng)a＜-2時，設(shè)方程x²+ax+1=0的2個根為x₁，x₂（x₁＜x₂），
則有0＜x₁＜1＜x₂．
結(jié)合圖形可知，

方程|f（x）|=g（x）在（0，+∞）上必有2個不等實數(shù)根．
綜上，實數(shù)a的取值范圍：（-∞，-2

2

）

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式，方程的根，函數(shù)的零點問題，難度較大，分類較多．