Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，當(dāng)x=-1，f（x）有極大值7；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值．
（Ⅰ）求a，b，c的值．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-（m-9）x（m∈R），討論g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)楫?dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極大值，當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值，所以把x=-1和3代入導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)都等于0，就可得到關(guān)于a，b，c的兩個(gè)等式，再根據(jù)極大值等于7，又得到一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式，三個(gè)等式聯(lián)立，即可求出a，b，c的值．
（2）設(shè)g（x）=f（x）-（m-9）x（m∈R），先求導(dǎo)數(shù)然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式g′（x）＞0和g′（x）＜0，g′（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，g′（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．

解答：解：（1）∴f（x）=x³+ax²+bx+c
∵f′（x）=3x²+2ax+b
而x=-1和x=3是極值點(diǎn)，
所以

f′(-1)=3-2a+b=0  f′(3)=27+6a+b=0

，解之得：a=-3，b=-9
又f（-1）=-1+a-b+c=-1-3+9+c=7，故得c=2；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-（m-9）x=x³-3x²-9x+2-（m-9）x=x³-3x²-mx+2，
則g′（x）=3x²-6x-m，
①當(dāng)△=36+12m＞0，即m＞-3時(shí)，
若令g′（x）＞0，解得x＞3+

36+12m

2

或x＜3-

36+12m

2

，
若令g′（x）＜0，解得3-

36+12m

2

＜x＜3+

36+12m

2

，
則g（x）的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間（-∞，3-

36+12m

2

），（3+

36+12m

2

，+∞），
g（x）的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間（3-

36+12m

2

，3+

36+12m

2

）；
②當(dāng)△=36+12m＞0，即m=-3時(shí)，
若令g′（x）＞0，解得x＜-1或x＞1，
則g（x）的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；
③當(dāng)△=36+12m＜0，即m＜-3時(shí)，
則g′（x）＞0在（-∞，+∞）上恒成立，
則g（x）的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間（-∞，+∞），無單調(diào)減區(qū)間．
綜上，①當(dāng)m＞-3時(shí)，g（x）的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間（-∞，3-

36+12m

2

），（3+

36+12m

2

，+∞），
g（x）的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間（3-

36+12m

2

，3+

36+12m

2

）；
②當(dāng)m=-3時(shí)，g（x）的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；
③當(dāng)m＜-3時(shí)，g（x）的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間（-∞，+∞），無單調(diào)減區(qū)間．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)的極值中的應(yīng)用，做題時(shí)要細(xì)心．理解極值與導(dǎo)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系及極值的判斷規(guī)則是解題的關(guān)鍵，本題是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題，常見題型