Question

設(shè)函數(shù)．
（I）求的值；
（II）若關(guān)于x的方程在x∈[0，1）上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（III）設(shè)函數(shù)g（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)，求證：當(dāng)．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)f（m）+f（n）的結(jié)果等于，從而得到的值．
（II）把條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為t=（x+1）（2x²-5x+5）在x∈[0，1）上有實(shí)數(shù)解，利用導(dǎo)數(shù)判斷t在x∈[0，1）上是減函數(shù)，得t（1）＜t≤t（0），由此解得實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（III）先求出函數(shù)g（x），設(shè) G（x）=g（x）-，（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)判斷G（x） 在[0，+∞）上單調(diào)遞減，得到g（x）＜，由此放縮要證得不等式成立．
解答：解：（I）∵函數(shù)，∴=+- 
=-=-=-=-=0．
（II）∵關(guān)于x的方程在x∈[0，1）上有實(shí)數(shù)解，
∴=，
∴= 在x∈[0，1）上有實(shí)數(shù)解，∴t=（x+1）（2x²-5x+5）在x∈[0，1）上有實(shí)數(shù)解．
∵t′=6x（x-1），x∈[0，1）時(shí)，t′＜0，t=（x+1）（2x²-5x+5）在x∈[0，1）上是減函數(shù)，
∴t（1）＜t≤t（0），解得 4＜t≤5．
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為（4，5]．
（III）函數(shù)g（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)，f（x）的定義域?yàn)椋?1，1），求得g（x）=f^-1（x）= （x∈R）．
設(shè) G（x）=g（x）-，（x＞0），則  G′（x）=g′（x）-=≤0．
∵a＞1，∴G（x） 在[0，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)x＞0時(shí)，G（x）＜G（0），即 g（x）＜．
∴a＞1時(shí)，＜ （）=•＜•=．

即＜，（n∈N^*）成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，求反函數(shù)，以及用放縮法證明不等式，屬于難題．