Question

若在曲線f（x，y）=0（或y=f（x））上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線線f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線，下列方程的曲線：①x²-y²=1；②y=3sinx+4cosx；③y=x²-|x|；④|x|+1=，存在自公切線的是（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：通過畫出函數(shù)圖象，觀察其圖象是否滿足在其上圖象上是否存在兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，從而確定是否存在自公切線，從而得到結(jié)論．
解答：解：x²-y²=1為等軸雙曲線，不存在自公切線，故①不存在；函數(shù)y=3sinx+4cosx的一條自公切線為y=5，故②存在；
函數(shù) y=x²-|x|的圖象如下左圖顯然滿足要求，故③存在；對(duì)于方程|x|+1=，其表示的圖形為圖中實(shí)線部分，不滿足要求，故④不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及新定義自公切線，題目比較新穎，解題的關(guān)鍵是理解新的定義，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．