Question

若x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（Ⅰ）若，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若，求b的最大值；
（Ⅲ）若為函數(shù)f（x）的一個極值點，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時求|g（x）|的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依題意有和1是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根
∴解得，∴f（x）=x³-x²-x．（經(jīng)檢驗，適合）．（4分）
（Ⅱ）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依題意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個根，∵x₁x₂=-＜0且，
∴（x₁-x₂）²=12．
∴，∴b²=3a²（9-a）
∵b²≥0∴0＜a≤9．
設(shè)p（a）=3a²（9-a），則p'（a）=54a-9a²．
由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6．
即函數(shù)p（a）在區(qū)間（0，6]上是增函數(shù)，在區(qū)間[6，9]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)a=6時，p（a）有極大值為324，∴p（a）在（0，9]上的最大值是324，
∴b的最大值為18．（9分）
（Ⅲ）∵是f（x）的一個極值點，
∴，又f'（x）=3ax²+2bx-a²即2b=a-3a²，
∴=
∵，a＞0∴g（x）＜0，則，
即，
∴當(dāng)時，g（x）有最大值．
分析：（Ⅰ）對f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)x₁、x₂（x₁≠x₂）是函數(shù)f（x）的兩個極值點可知和1是方程3ax²+2bx-a²=0的兩根，利用韋達(dá)定理建立方程組，解之即可；
（Ⅱ）根據(jù)條件建立b²關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可求出b的最大值；
（Ⅲ）根據(jù)是f（x）的一個極值點求出b與a的等量關(guān)系，將函數(shù)g（x）用a表示，研究函數(shù)|g（x）|在時的最大值即可．
點評：考查學(xué)生會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，掌握絕對值函數(shù)求最值的方法．