Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x，
（1）若x∈[-2，2]時(shí)，求f（x）的值域；
（2）若存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]時(shí)，f（x+t）≤3x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可，求f（x）的值域；
（2）將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+2x的對(duì)稱軸為x=-1，
∴當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，
當(dāng)x=-1，函數(shù)取得最小值f（-1）=1-2=-1，
當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最大值f（2）=4+4=8，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋篬-1，8]．
（2）由f（x+t）≤3x恒成立得：x²+（2t-1）x+t²+2t≤0恒成立，
令u（x）=x²+（2t-1）x+t²+2t，x∈[1，m]，
∵拋物線的開(kāi)口向上，
∴u（x）的最大值為max{u（1），u（m）}，
由u（x）≤0恒成立知：

u(1)≤0 u(m)≤0

，
化簡(jiǎn)得：

-4≤t≤0 t2+2(1+m)t+m2-m≤0

，
令g（t）=t²+2（1+m）t+m²-m，
則原題可轉(zhuǎn)化為：存在t∈[-4，0]，使得g（t）≤0，
即：當(dāng)t∈[-4，0]，g（t）_min≤0，
∵m＞1，g（t）的對(duì)稱軸：t=-1-m＜-2，
①若-1-m＜-4，即m＞3時(shí)，g（t）_min=g（-4）=16-8（1+m）+m²-m≤0，
解得3＜m≤8，
②當(dāng)-4≤-1-m≤-2，
即：1＜m≤3時(shí)，g（t）_min=g（-1-m）=-1-3m≤0，
解得1＜m≤3，
綜上：m的取值范圍為：（1，8]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及二次函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的分析能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．