Question

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x）+f（1-x）=1．
（1）求f(

1

2

)和f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∈N*)的值；
（2）若數(shù)列{an}滿足an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)（n∈N*），求{a_n}的通項公式；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n是數(shù)列{b_n}前n項的和，是否存在正實數(shù)k，使不等式knS_n＞4b_n對于一切的n∈N^*恒成立？若存在指出k的取值范圍，并證明；若不存在說明理由．

Answer 1

（1）令x=

1

2

，f(

1

2

)+f(1-

1

2

)=1，∴f(

1

2

)=

1

2

，
令x=

1

n

，f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=1
（2）∵an=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)++f(

n-1

n

)+f(1)①
∴an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)++f(

1

n

)+f(0)②
由（Ⅰ），知f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=1
∴①+②，得2an=(n+1)．∴an=

n+1

2

．
（3）∵b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，∴b_n=（n+1）•2ⁿ
∴S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，①
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得-S_n=4+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
即S_n=n•2ⁿ⁺¹
要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，
即kn²-2n-2＞0對于一切的n∈N^*恒成立，n=1時，k-2-2＞0成立，即k＞4
設(shè)g（n）=kn²-2n-2
當k＞4時，由于對稱軸直線n=

1

k

＜1，
且g（1）=k-2-2＞0，而函數(shù)f（x）在[1，+∞）是增函數(shù)，
∴不等式knS_n＞b_n恒成立
即當實數(shù)k大于4時，不等式knS_n＞b_n對于一切的n∈N^*恒成立．