已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+a2+1,x∈R.
(1)若a=2,解不等式f(x)<0;
(2)若a∈R,解關(guān)于x的不等式f(x)<0;
(3)若x∈[0,2]時(shí),f(x)≥a2(1-x)恒成立.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x2-6x+5=(x-1)(x-5)<0,由二次不等式的解法可求
(2)f(x)=0時(shí)△=8a,二次函數(shù)的圖象開口向上,分類討論①△≤0②△>0兩種情況分別進(jìn)行求解
(3)任意的x∈[0,2],x2+1≥(-a2+2a+1)x,成立①當(dāng)x=0時(shí),不等式顯然成立②當(dāng)x∈(0,2],可得-a2+2a+2≤x+
1
x
,通過研究函數(shù)x+
1
x
的最值可求a的范圍
解答:解:(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x2-6x+5=(x-1)(x-5)<0
∴1<x<5-----(2分)
(2)f(x)=0時(shí)△=8a--(4分)
當(dāng)a≤0,x∈Φ;-----(6分)
當(dāng)a>0,a+1-
2a
<x<a+1+
2a
---(8分)
(3)由題意:任意的x∈[0,2],x2+1≥(-a2+2a+1)x,成立
當(dāng)x=0時(shí),不等式顯然成立--(10分)
當(dāng)x∈(0,2],-a2+2a+2≤x+
1
x

x+
1
x
≥2,(x=1 時(shí)取等)

∴-a2+2a+2≤2,即a≤0或a≥2
綜上:a≤0或a≥2---(16分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二次不等式的解法,二次不等式的恒成立問題的應(yīng)用及利用基本不等式求解函數(shù)的最值等知識(shí)的綜合應(yīng)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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