Question

與四面體的一個(gè)面及另外三個(gè)面的延長(zhǎng)面都相切的球稱為該四面體的旁切球，則棱長(zhǎng)為1的正四面體的旁切球的半徑r=

6

6

．

Answer 1

分析：先根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，圓O是棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD的旁切球的大圓，AF是正四面體ABCD的高，F(xiàn)是底面三角形BCD的中心，AG是大圓O的切線，G為切點(diǎn)，設(shè)大圓的半徑為R，在三角形ABC中，求出AE，在直角三角形AEF中，求出AF，再利用△AOG∽△AEF，得出關(guān)于R的方程即可求出答案．

解答：解：根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，圓O是棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD的旁切球的大圓，AF是正四面體A-BCD的高，F(xiàn)是底面三角形BCD的中心，AE是側(cè)面上的中線，AG是大圓O的切線，G為切點(diǎn)，設(shè)大圓的半徑為R，
在三角形ABC中，AE=

3

2

=ED，
在直角三角形AEF中，EF=

1

3

ED=

1

3

×

3

2

=

3

6

，
∴AF=

AE2-EF2

=

6

3

，
在三角形AOG和三角形AEF中，∵∠OAG=∠EAF，∠AGO=∠AFE=90°，
∴△AOG∽△AEF，
∴

AO

OG

=

AE

EF

即

6 3 +R

R

=

3 2

3 6

，
∴R=

6

6

．
故答案為：

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查球內(nèi)接多面體、棱錐的幾何特征、三角形相似等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查空間想象能力．屬于基礎(chǔ)題．