Question

已知實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件

x+2y≥2 2x+y≤4 4x-y≥-1

，若

a

=（x，y），

b

=（3，-1），設(shè)z表示向量

a

在

b

方向上的投影，則z的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  3

  2

  ，6]
• B、[-1，6]
• C、[-

  3

  2 10

  ，

  6

  10

  ]
• D、[-

  1

  10

  ，

  6

  10

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用向量投影的定義計(jì)算z的表達(dá)式，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵

a

=（x，y），

b

=（3，-1），z表示向量

a

在

b

方向上的投影，
∴z=

a • b

| b |

=

3x-y

10

，
即y=3x-

10

z，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線y=3x-

10

z，當(dāng)y=3x-

10

z，經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)直線y=3x-

10

z的截距最大，
此時(shí)z最小，當(dāng)y=3x-

10

z經(jīng)過點(diǎn)B（2，0）時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最大．
由

4x-y=-1 2x+y=4

，得

x= 1 2 y=3

，即C（

1

2

，3），
此時(shí)最小值z(mì)=

3× 1 2 -3

10

=-

3

2 10

，
此時(shí)最大值z(mì)=

6

10

，
故z的取值范圍是[-

3

2 10

，

6

10

]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．