已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，點A在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，則此三棱錐體積最大值是


  1. A.
    數(shù)學公式
  2. B.
    數(shù)學公式
  3. C.
    數(shù)學公式
  4. D.
    數(shù)學公式
D
分析：由已知中點A在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心，我們易證明出三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱也相等，則三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱互相垂直時，體積取最大值，代入體積公式，即可求出答案．
解答：點A在側(cè)面SBC上的射影H是三角形SBC的垂心，AD為BC邊上的高
∴SA⊥BC，SC⊥AB．
設(shè)O為S在底面的射影，
則BC⊥面SAD，則O一定在AD上，
AB⊥SC，AB⊥SO，所以CO⊥AB，
所以O(shè)是底面ABC的垂心．也是外心，
∴SA=SB=SC=a．
則當SA，SB，SC互相垂直時體積最大
此時V==
故選D
點評：本題考查的點是三棱錐的體積及三角形的垂心，其中根據(jù)已知條件，證明出三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱也相等，是解答本題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=
2
r，則球的體積與三棱錐體積之比是（　�。�
A、πB、2πC、3πD、4π

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2；則此棱錐的體積為
2
6
2
6
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA=2，SB=SC=4，若點P到S、A、B、C這四點的距離都是同一個值，則這個值是
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•蘭州一模）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在以O(shè)為球心的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，若三棱錐S-ABC的體積為
2
6
，則球O的表面積為
4π
4π
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知三棱錐S-ABC的四個頂點在以O(shè)為球心的同一球面上，且SA=SB=SC=AB，∠ACB=90°，則當球的表面積為400π時，點O到平面ABC的距離為（　　）

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