Question

已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0＜x＜1．求證：log_x

a+b

2

+log_x

b+c

2

+log_x

a+c

2

＜log_xa+log_xb+log_xc．

Answer 1

考點：綜合法與分析法(選修）

專題：證明題,分析法

分析：利用分析法，要證原不等式成立，只需尋找結(jié)論成立的充分條件．

解答： 證明：要證log_x

a+b

2

+log_x

b+c

2

+log_x

a+c

2

＜log_xa+log_xb+log_xc，
只需證log_x（

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

）＜log_x（abc）．
由已知0＜x＜1，得只需證

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞abc．
由公式

a+b

2

≥

ab

＞0，

b+c

2

≥

bc

＞0，

a+c

2

≥

ac

＞0．
又∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，
∴

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞

ab

•

bc

•

ac

=abc．
即

a+b

2

•

b+c

2

•

a+c

2

＞abc成立．
∴l(xiāng)og_x

a+b

2

+log_x

b+c

2

+log_x

a+c

2

＜log_xa+log_xb+log_xc成立．

點評：本題考查不等式的證明，突出分析法的考查，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．