Question

【題目】設(shè)，，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)

（1）若線段的中點(diǎn)為，求直線的方程；

（2）若直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入橢圓方程，兩式相減得到等式①，利用中點(diǎn)坐標(biāo)可得代入①式可化簡(jiǎn)求出直線的斜率k，即可求出直線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)即可；

（2）設(shè)直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得關(guān)于y的一元二次方程，韋達(dá)定理求出、，由得，列出等式化簡(jiǎn)得，求出點(diǎn)到直線AB的距離及，代入即可求得的面積.

（1）由橢圓的對(duì)稱性知直線的斜率存在，設(shè)，

因?yàn)?/span>A、B在橢圓上，所以，，

兩式相減可得①，

因?yàn)?/span>為線段AB的中點(diǎn)，所以，

代入①式可得，即，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線，直線l的方程為，

即；

（2）橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為，

聯(lián)立，，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，即，

，所以，，

點(diǎn)到直線AB的距離為，

，

所以的面積為.