Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足當(dāng)n＞1時(shí)，an=

an-1

1+4an-1

，且a1=

1

5

．
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）試問(wèn)a₁a₂是否是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意數(shù)列為非0數(shù)列，遞推關(guān)系式取倒數(shù)、即可判斷數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為5，公差為4的等差數(shù)列．
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出a₁a₂令它等于通項(xiàng)，求出n的值即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）根據(jù)題意a1=

1

5

及遞推關(guān)系有a_n≠0，因?yàn)?span id="m5qcgdi" class="MathJye">an=

an-1

1+4an-1

，
取倒數(shù)得：

1

an

=

1

an-1

+4，即

1

an

-

1

an-1

=4(n＞1)
所以數(shù)列{

1

an

}是首項(xiàng)為5，公差為4的等差數(shù)列．
（2）由（1）得：

1

an

=5+4(n-1)=4n+1，an=

1

4n+1

又a1a2=

1

5

×

1

9

=

1

45

=

1

4n+1

⇒n=11．
所以a₁a₂是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，是第11項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查數(shù)列的判斷，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列中的項(xiàng)的判斷，考查計(jì)算能力．