Question

四面體DABC的體積為

1

6

，∠ACB=

π

4

，AD=1，BC+

AC

2

=2，則CD=

 

．

Answer 1

分析：由已知中四面體DABC的體積為

1

6

，∠ACB=

π

4

，AD=1，BC+

AC

2

=2，我們可以設四棱錐D-ABC的高為DA'，結合點到平面的距離垂線段最短，我們可以構造一個不等式，結合基本不等式，我們易判斷出AD與平面ABC垂直，并且可以求出BC及AC的長，結合勾股定理即可得到答案．

解答：解：已知如下圖所示：

作DA'⊥平面ABC，則AD≥A'D
則V_D-ABC=

1

3

•A′D(

1

2

•AC•BC•sin45°)=

1

6

≤

1

3

•AD(

1

2

•AC•BC•sin45°)
即AD•BC•

AC

2

≥1
由基本不等式得AD+BC+

AC

2

≥3

3	AD•BC• AC 2

≥3
當且僅當AD=BC=

AC

2

=1時取等號，
而AD+BC+

AC

2

=2+1=3
故AD'=AD=1
即AD⊥平面ABC
此時，AC=

2

，
由勾股定理易得CD=

3

故答案為：

3

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積及直線與平面垂直的性質，其中根據(jù)已知條件，結合基本不等式判斷出AD與平面ABC垂直，是解答本題的關鍵．