已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓上的點(diǎn)滿足，且的面積．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段恰被直線平分？若存在，求出的斜率取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

【答案】

（I）橢圓的方程為.（Ⅱ）存在滿足題設(shè)條件的直線，且的斜率取值范圍是

.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意知：.，且，由此可求得，，二者相加即得，從而得橢圓的方程. （Ⅱ）假設(shè)這樣的直線存在，且直線的方程為，設(shè)與橢圓的兩交點(diǎn)為、，若線段恰被直線平分，則.這顯然用韋達(dá)定理.由 得．

由得．再用韋達(dá)定理得 ，代入得，再將此式代入得一只含的不等式，解此不等式即得的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由題意知：， （1分）

橢圓上的點(diǎn)滿足，且，

．

，．

． （2分）

又． （3分）

橢圓的方程為． （4分）

（Ⅱ）假設(shè)這樣的直線存在．與直線相交，直線的斜率存在.

設(shè)的方程為， （5分）

由 得．（*） （6分）

直線與橢圓有兩個交點(diǎn)，

（*）的判別式，即．① （7分）

設(shè)、，則 ．　 （8分）

被直線平分，可知，

，． ②　　　 （9分）

把②代入①，得，即． （10分）

，． （11分）

或．即存在滿足題設(shè)條件的直線，且的斜率取值范圍是

． （12分）

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
1
2
且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．M為橢圓上的動點(diǎn)，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓M與y軸有兩個交點(diǎn)，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其右準(zhǔn)線上上存在點(diǎn)（點(diǎn)在 軸上方），使為等腰三角形．

⑴求離心率的范圍；

    ⑵若橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，求的內(nèi)切圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期假期檢測考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，， 點(diǎn)是橢圓的一個頂點(diǎn)，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過定點(diǎn)（）．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年福建省三明市高三上學(xué)期三校聯(lián)考數(shù)學(xué)理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）     已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C1上，頂點(diǎn)B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年云南省德宏州高三高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，右準(zhǔn)線方程為．

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）過點(diǎn)的直線與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

 

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