Question

（2012•濟南二模）已知橢圓的焦點坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），過F₂垂直于長軸的直線交橢圓于P、Q兩點，且|PQ|=3．
（1）求橢圓的方程；
（2）過F₂的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，則△F₁MN的內(nèi)切圓的面積是否存在最大值？若存在求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程，由焦點坐標(biāo)可得c=1，由|PQ|=3，可得

2b2

a

=3，又a²-b²=1，由此可求橢圓方程；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△F₁MN的內(nèi)切圓的徑R，則△F₁MN的周長=4a=8，S△F1MN=

1

2

（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R，因此S△F1MN最大，R就最大．設(shè)直線l的方程為x=my+1，與橢圓方程聯(lián)立，從而可表示△F₁MN的面積，利用換元法，借助于導(dǎo)數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由焦點坐標(biāo)可得c=1…（1分）
由|PQ|=3，可得

2b2

a

=3，…（2分）
又a²-b²=1，解得a=2，b=

3

，…（3分）
故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設(shè)△F₁MN的內(nèi)切圓的徑R，
則△F₁MN的周長=4a=8，S△F1MN=

1

2

（|MN|+|F₁M|+|F₁N|）R=4R
因此S△F1MN最大，R就最大，…（6分）
由題知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

得（3m²+4）y²+6my-9=0，…（8分）
得y1=

-3m+6 m2+1

3m2+4

，y2=

-3m-6 m2+1

3m2+4

，
則S△F1MN=

1

2

|F1F2|(y1-y2)=y1-y2=

12 m2+1

3m2+4

，…（9分）
令t=

m2+1

，則t≥1，
則S△F1MN=

12 m2+1

3m2+4

=

12t

3t2+1

=

12

3t+ 1 t

，…（10分）
令f（t）=3t+

1

t

，則f′（t）=3-

1

t2

，
當(dāng)t≥1時，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，有f（t）≥f（1）=4，S_△F1MN≤3，
即當(dāng)t=1，m=0時，S_△F1MN≤3，
S_△F1MN=4R，∴R_max=

3

4

，這時所求內(nèi)切圓面積的最大值為

9

16

π．
故直線l：x=1，△F₁MN內(nèi)切圓面積的最大值為

9

16

π…（12分）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，分析得出S△F1MN最大，R就最大是關(guān)鍵．