Question

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且bsinC-

3

ccosB=0．
（1）求tanB；
（2）若b=7，求△ABC的周長的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形,不等式的解法及應用

分析：（1）由已知和正弦定理可得sinBsinC-

3

sinCcosB=0，即可求得tanB的值；
（2）由（1）知，B=

π

3

，由余弦定理可得（a+c）²=3ac+49≤

3

4

（a+c）²+49，即有a+c≤14（當且僅當a=c=7時取等號），即可求△ABC的周長的最大值．

解答： 解：（1）∵bsinC-

3

ccosB=0，
∴sinBsinC-

3

sinCcosB=0…（2分）
∵sinC≠0，cosB≠0
∴tanB=

3

…（4分）
（2）由（1）知，B=

π

3

由7²=a²+c²-2accosB，得49=a²+c²-ac，…（7分）
∴（a+c）²=3ac+49≤

3

4

（a+c）²+49
∴a+c≤14（當且僅當a=c=7時取等號），
∴△ABC周長的最大值為21          …（10分）

點評：本題主要考察了正弦定理、余弦定理的應用，不等式的解法，綜合性強，屬于中檔題．