Question

已知向量

a

=(1，sinx)，

b

=(cos(2x+

π

3

)，sinx)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角C為鈍角，若f（

C

2

）=-

1

4

，a=2，c=2

3

．求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）由數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的運(yùn)算易得函數(shù)的解析式，再由整體法可求單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可求C，由正弦定理可求A，進(jìn)而由三角形的內(nèi)角和可得B，然后代入三角形的面積公式可得答案．

解答： 解：（1）f(x)=

a

•

b

=cos（2x+

π

3

）+sin²x
=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x，
由2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，得：kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，
所以單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，k∈Z …（6分）
（2）∵f（

C

2

）=

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

，∴sinC=

3

2

又角C為鈍角，所以C=

2π

3

，…（8分）
由正弦定理可得：

2

sinA

=

2 3

sinC

，解得sinA=

1

2

，而0＜A＜

π

3

，
∴A=

π

6

，由三角形的內(nèi)角和可得B=

π

6

，…（10分）
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×2×2

3

×

1

2

=

3

．      …（12分）

點(diǎn)評：本題考查解三角形，涉及平面向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的運(yùn)算，屬中檔題．