Question

如圖E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）若AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH為菱形，試證明你的結(jié)論．
（3）求證：AC∥平面EFGH．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接BD，利用三角形中位線定理推導(dǎo)出EH∥FG，且EH=FG，由此能證明四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）AC=BD時，四邊形EFGH為菱形．由（1）知四邊形EFGH為平行四邊形，且FG=

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2

BD，由E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，知EF=

1

2

AC，由AC=BD，得EF=FG，由此證明四邊形EFGH為菱形．
（3）E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，得EF∥AC，由此能證明AC∥平面EFGH．

解答： （1）證明：連接BD，因?yàn)镋H是△ABD的中位線，
所以EH∥BD，且FG=

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2

BD，
同理，F(xiàn)G∥BD，且FG=

1

2

BD，
因?yàn)镋H∥FG，且EH=FG，
所以，四邊形EFGH為平行四邊形．
（2）解：AC=BD時，四邊形EFGH為菱形．
證明：由（1）知四邊形EFGH為平行四邊形，且FG=

1

2

BD，
∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF=

1

2

AC，∵AC=BD，∴EF=FG，
∴四邊形EFGH為菱形．
（3）證明：∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，
∵AC不色含于平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴AC∥平面EFGH．

點(diǎn)評：本題考查四邊形是平行四邊形的證明，考查四邊形為菱形所滿足條件的判斷與證明，考查直線與平面平行的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意三角形中位線定理的靈活運(yùn)用．