Question

5．如果一條拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱(chēng)為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是等腰三角形；
（2）若拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，求的值；
（3）如圖，△OAB是拋物線y=-x²+b′x（b′＞0）的“拋物線三角形”，是否存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心的矩形ABCD？若存在，求出過(guò)O、C、D三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 1）拋物線的頂點(diǎn)必在拋物線與x軸兩交點(diǎn)連線的垂直平分線上，因此這個(gè)“拋物線三角形”一定是等腰三角形．
（2）觀察拋物線的解析式，它的開(kāi)口向下且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，由于b＞0，那么其頂點(diǎn)在第一象限，而這個(gè)“拋物線三角形”是等腰直角三角形，必須滿足頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫、縱坐標(biāo)相等，以此作為等量關(guān)系來(lái)列方程解出b的值．
（3）由于矩形的對(duì)角線相等且互相平分，所以若存在以原點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心的矩形ABCD，那么必須滿足OA=OB，結(jié)合（1）的結(jié)論，這個(gè)“拋物線三角形”必須是等邊三角形，首先用b′表示出AE、OE的長(zhǎng)，通過(guò)△OAB這個(gè)等邊三角形來(lái)列等量關(guān)系求出b′的值，進(jìn)而確定A、B的坐標(biāo)，即可確定C、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求出過(guò)O、C、D的拋物線的解析式．

解答 解：（1）等腰根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，拋物線的頂點(diǎn)A必在O、B的垂直平分線上，所以O(shè)A=AB，即：“拋物線三角形”必為等腰三角形．
故填：等腰．
（2）∵拋物線y=-x²+bx（b＞0）的“拋物線三角形”是等腰直角三角形，
∴該拋物線的頂點(diǎn)（$\frac{2}$，$\frac{^{2}}{4}$）滿足$\frac{2}$=$\frac{^{2}}{4}$（b＞0）．
∴b=2．
（3）存在．
如圖，作△OCD與△OAB關(guān)于原點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)，
則四邊形ABCD為平行四邊形．
 當(dāng)OA=OB時(shí)，平行四邊形ABCD 為矩形．
又∵AO=AB，
∴△OAB為等邊三角形．
作AE⊥OB，垂足為E．
∴AE=$\sqrt{3}$OE．
∴$\frac{{b′}^{2}}{4}$=$\sqrt{3}$•$\frac{b′}{2}$（b′＞0），∴b′=2$\sqrt{3}$，
∴A（$\sqrt{3}$，3），B（2$\sqrt{3}$，0），
C（-$\sqrt{3}$，-3），D（-2$\sqrt{3}$，0），
設(shè)過(guò)點(diǎn)O，C，D三點(diǎn)的拋物線y=mx²+nx，
則$\left\{\begin{array}{l}{12m-2\sqrt{3}n=0}\\{3m-\sqrt{3}n=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=x²+2$\sqrt{3}$x．

點(diǎn)評(píng) 這道二次函數(shù)綜合題融入了新定義的形式，涉及到：二次函數(shù)的性質(zhì)及解析式的確定、等腰三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，難度不大，重在考查基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況