Question

11．過$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左焦點(diǎn)F₁作斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|AF₁|=7|BF₁|，則e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)|BF₁|=t，|AF₁|=7t，作出左準(zhǔn)線l，B，A在準(zhǔn)線上的射影為C，D，運(yùn)用橢圓的第二定義，結(jié)合解直角三角形ABE，即可得到所求離心率．

解答 解：設(shè)|BF₁|=t，|AF₁|=7t，
作出左準(zhǔn)線l，B，A在準(zhǔn)線上的射影為C，D，
橢圓的離心率為e，由橢圓的第二定義可得
|BC|=$\frac{t}{e}$，|AD|=$\frac{7t}{e}$，即有|AE|=$\frac{6t}{e}$，
|AB|=8t，在直角三角形ABE中，
∠ABE=60°，sin60°=$\frac{|AE|}{|AB|}$，
即有$\frac{6t}{8et}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓的第二定義的運(yùn)用，注意運(yùn)用圖形和解直角三角形，屬于中檔題．