Question

已知數(shù)列的前項(xiàng)和為滿足.

（Ⅰ）函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，令，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅱ）已知數(shù)列滿足，證明:對(duì)任意的整數(shù)，有.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）詳見解析;

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由于，可知數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；又函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，知，可求，在利用錯(cuò)位相減求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）和，求出通項(xiàng)公式，在求出，利用不等式放縮求出，對(duì)k按當(dāng)且為偶數(shù)和當(dāng)且為奇數(shù)分類討論利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和/

試題解析：（Ⅰ）由，得

當(dāng)時(shí)，有，

所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以

由題意得，所以

①

得 ②

得，所以

（Ⅱ）由通項(xiàng)公式得，當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)

①當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)

②當(dāng)且為奇數(shù)時(shí).

考點(diǎn)：1.數(shù)列的地推關(guān)系；2.錯(cuò)位相減法求和；3.不等式放縮在數(shù)列中的應(yīng)用.