Question

已知雙曲線x²-y²=1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，動直線l：y=kx+m與圓x²+y²=1相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（1）求k的取值范圍，并求x₂-x₁的最小值；
（2）記直線P₁A₁的斜率為k₁，直線P₂A₂的斜率為k₂，那么k₁•k₂是定值嗎？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由l與圓相切，知m²=1+k²，由，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，所以由此能求出k的取值范圍和x₂-x₁的最小值．
（2）由已知可得A₁，A₂的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），，=．由此能證明k₁•k₂是定值．
解答：解：（1）∵l與圓相切，∴∴m²=1+k²（2分）
由，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，∴，∴k²＜1，∴-1＜k＜1，故k的取值范圍為（-1，1）．（5分）
由于，
∵0≤k²＜1∴當(dāng)k²=0時，x₂-x₁取最小值．（7分）
（2）由已知可得A₁，A₂的坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），
∴，∴=（10分）
==
==，
由m²-k²=1，∴為定值．（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．