Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)（a＞0且a≠1）
（1）求m的值；
（2）判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由奇函數(shù)可得：f（-x）+f（x）=0，求出m的值之后，再驗證是否滿足函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明．
解答：解：（1）∵已知函數(shù)是奇函數(shù)（a＞0且a≠1），
∴f（-x）+f（x）=0，
∴，即，
∴，即1-m²x²=1-x²，∴m²=1，解得m=±1．
又∵，∴m=1應(yīng)舍去．
當(dāng)m=-1時，f（x）=，其定義域為{x|x＜-1，或x＞1}關(guān)于原點對稱，故適合．
∴m=-1．
（2）當(dāng)a＞1時，f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減，下面給出證明．
設(shè)1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）==
而（1+x₁）（x₂-1）-（x₁-1）（1+x₂）=2（x₂-x₁）＞0，及（x₁-1）（1+x₂）＞0，
∴，又a＞1，
∴
∴f（x₁）＞f（x₂）．
當(dāng)0＜a＜1時，同理可證f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．
點評：掌握函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是正確解題的關(guān)鍵．