Question

14．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，E，F(xiàn)分別為A₁C₁，BC的中點，AA₁=3，AC=2，BC=1，AB⊥BC．
（Ⅰ）求三棱錐E-ABF的體積；
（Ⅱ）求證：C₁F∥平面ABE；
（Ⅲ）求證：平面ABE⊥平面B₁BCC₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用V_E-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABF•AA₁，可求三棱錐E-ABF的體積；
（Ⅱ）證明C₁F∥平面ABE，只需證明四邊形FGEC₁為平行四邊形，可得C₁F∥EG；
（Ⅲ）證明AB⊥B₁BCC₁，可得平面ABE⊥B₁BCC₁．

解答 解：（Ⅰ）∵AA₁=3，AC=2，BC=1，AB⊥BC，
∴AB=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
∴V_E-ABF=$\frac{1}{3}$S_△ABF•AA₁=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$）×3=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
（Ⅱ）證明：取AB中點G，連接EG，F(xiàn)G，
∵F是BC的中點，
∴FG∥AC，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AC，
∵E是A₁C₁的中點，
∴FG∥EC₁，F(xiàn)G=EC₁，
∴四邊形FGEC₁為平行四邊形，
∴C₁F∥EG，
∵C₁F?平面ABE，EG?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE；
（Ⅲ）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，
∴BB₁⊥AB，
∵AB⊥BC，BB₁∩BC=B，BB₁，BC?平面B₁BCC₁，
∴AB⊥平面B₁BCC₁，
∵AB?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面B₁BCC₁．

點評 本題考查線面平行、垂直的證明，考查三棱錐E-ABC的體積的計算，正確運用線面平行、垂直的判定定理是關(guān)鍵．