Question

（06年重慶卷文）（12分）

如圖，在增四棱柱中，，為上使的點(diǎn)。平面交于，交的延長(zhǎng)線于，求：

（Ⅰ）異面直線與所成角的大��；

（Ⅱ）二面角的正切值；

Answer 1

解析：解法一：（Ⅰ）由為異面直線與所成角．（如圖1）

連接．因?yàn)椋粒藕?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090330/20090330205441004.gif' width=31>分別是平行平面，

所以AE//,由此得

 

（Ⅱ）作于H,由三垂線定理知

即二面角的平面角.

.

從而.

解法二：（Ⅰ）由為異面直線與所成角．（如圖2）

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090330/20090330205441014.gif' width=29>和AF是平行平面，

所以,由此得

 

（Ⅱ）為鈍角。

作的延長(zhǎng)線于H,連接AH，由三垂線定理知

的平面角.

        .

從而.

解法三：（Ⅰ）以為原點(diǎn)，A₁B_1，A₁D₁，A₁A所在直線分別為x、y、z軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，

于是，

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090330/20090330205441014.gif' width=29>和AF是平行平面

，所以．設(shè)Ｇ（0,y,0）,則

,于是.

故.設(shè)異面直線與所成的角的大小為,則:

,從而 

（Ⅱ）作 H,由三垂線定理知的平面角. 設(shè)H（a,b,0）,則:.由得:

……① 

 又由,于是

  ……②  

聯(lián)立①②得:,

由 得:

.