Question

（理）已知函數(shù)f(x)=ln(ax+2)+

1

x

（a＞0）
（Ⅰ）若f（x）在x=2處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=2處取得極值，則f'（2）=0，求出a的值，然后驗(yàn)證即可；
（II）先對(duì)函數(shù)y=f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

a

ax+2

-

1

x2

（x＞-

2

a

），
∵f（x）在x=2處取得極值，
∴f′(2)=

a

2a+2

-

1

4

=0，得a=1…（3分）
經(jīng)檢驗(yàn)，a=1時(shí)，f（x）x=2處取得極小值，
∴a=1…（4分）
（Ⅱ）由f′(x)=

a

ax+2

-

1

x2

＞0及ax+2＞0，a＞0，
整理得

ax2-ax-2＞0(1) x＞- 2 a (2)

由（1）得x＜

a- a2+8a

2a

或x＞

a+ a2+8a

2a

…（7分）
∵a＞0，
∴

a2+8a

＜

a2+8a+16

=a+4
∴-4＜a-

a2+8a

，得-

2

a

＜

a- a2+8a

2a

∴-

2

a

＜x＜

a- a2+8a

2a

或 x＞

a+ a2+8a

2a

…（11分）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：(-

2

a

，

a- a2+8a

2a

)，(

a+ a2+8a

2a

，+∞)…（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想．解答的關(guān)鍵是會(huì)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．