Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）已知函數(shù)的圖象與直線相交于，兩點(diǎn)（），證明：．

Answer 1

【答案】（1）分類討論，答案見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用確定增區(qū)間，確定減區(qū)間，從而可得極值；

（2）由（1）知只有在且即時(shí)，函數(shù)的圖象與直線才有兩個(gè)交點(diǎn)，由得，可得，同時(shí)由消去參數(shù)，并設(shè)，都可用表示，要證不等式，只要證，即，只要證，引入新函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可證．

解：（1），

①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，無極值；

②當(dāng)時(shí)，由，得.

所以時(shí)，，單調(diào)遞減；

時(shí)，，單調(diào)遞增.

此時(shí)函數(shù)有極小值為，無極大值.

（2）由題設(shè)可得，所以，

且由（1）可知，，.

，，∴，同理，

由，可知，所以.

由，得，

作差得

設(shè)（），由，得，

所以，即，

所以，

要證，只要證，即，只要證.

設(shè)（），

則.

所以在單調(diào)遞增，.

所以.