Question

5．若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，又f（4）=0，則$\frac{f（x）+f（-x）}{3x}$＜0的解集（-4，0）∪（4，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可．

解答 解：若函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則不等式$\frac{f（x）+f（-x）}{3x}$＜0等價(jià)為$\frac{f（x）+f（x）}{3x}$=$\frac{2f（x）}{3x}$＜0，
即xf（x）＜0，
∵f（x）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，f（4）=0，
∴函數(shù)f（x）對(duì)應(yīng)的圖象為：
則不等式等價(jià)為x＞0時(shí)，f（x）＜0，此時(shí)x＞4，
x＜0時(shí)，f（x）＞0，此時(shí)0＜x＜4，
綜上不等式的解集為（-4，0）∪（4，+∞），
故答案為：（-4，0）∪（4，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．