已知O是三角形ABC的外心，AB=2，AC=5，若
AO
=x
AB
+y
AC
，且x+4y=2，則三角形ABC的面積為（　�。�
A、
5
39
4
B、
5
39
8
C、
5
39
16
D、
5
39
2
考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：過外心O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．利用垂經(jīng)定理可得：AD=
1
2
AB，AE=
1
2
AC．由投影的定義可得：
AO
•
AB
=
1
2
AB
2=2，
AO
•
AC
=
1
2
AC
2=
25
2
．對(duì)
AO
=x
AB
+y
AC
分別與
AB
，
AC
作數(shù)量積．可得2=4x+10ycosA，
25
2
=10xcosA+25y．又x+4y=2，聯(lián)立解得cosA．即可得出sinA，利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出．
解答： 解：如圖所示，
過外心O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E．
則AD=
1
2
AB，AE=
1
2
AC．
∴
AO
•
AB
=
1
2
AB
2=2，
AO
•
AC
=
1
2
AC
2=
25
2
．
對(duì)
AO
=x
AB
+y
AC
分別與
AB
，
AC
作數(shù)量積．
可得：
AO
•
AB
=x
AB
2+y
AB
•
AC
，化為2=4x+10ycosA．
AO
•
AC
=x
AB
•
AC
+y
AC
2，化為
25
2
=10xcosA+25y．
又x+4y=2，
聯(lián)立解得cosA=
2
5
或
5
8
．
當(dāng)cosA=
2
5
時(shí)，x=0，舍去．
∴cosA=
5
8
．
∴sinA=
1-cos2A
=
39
8
．
∴三角形ABC的面積S=
1
2
AB×ACsinA=
1
2
×2×5×
39
8
=
5
39
8
．
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了垂經(jīng)定理、投影的定義、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=xlnx在x0處的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之和等于1，則x0的值等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入x=16，則輸出x的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
2x-2[x] ， x≥0
f(x+1) ， x＜0
，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.1]=1，[0.3]=0，若函數(shù)y=f（x）-k（x+1）恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則k的取值范圍是（　�。�
A、（-2，-1]∪[
1
2
，
2
3
）
B、[-2，-1）∪（0，
1
2
]
C、[
1
2
，
2
3
]
D、[
1
2
，
2
3
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示的流程表示的算法是（　�。�
A、輸出c，b，a
B、輸出最大值
C、輸出最小值
D、輸出輸入框內(nèi)的值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果不等式
2x2+2mx+m
4x2+6x+3
＜1對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、（1，3）
B、（-∞，3）
C、（-∞，1）∪（2，+∞）
D、（-∞，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2，0），B（1，3），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且
OM
=α
OA
+β
OB
（α+β=1），N（1，0），則|
MN
|的最小值為（　�。�
A、
2
2
B、
3
2
2
C、
9
2
D、
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知2013年2月10日春節(jié)．某蔬菜基地2013年2月2日有一批黃瓜進(jìn)入市場(chǎng)銷售，通過市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)測(cè)黃瓜的價(jià)格f（x）（單位：元/kg）與時(shí)間x（x表示距2月10日的天數(shù)，單位：天，x∈（0，8]且x∈N*）的數(shù)據(jù)如下表：
時(shí)間x862
價(jià)格f（x）8420
（Ⅰ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述黃瓜價(jià)格f（x）與上市時(shí)間x的變化關(guān)系：f（x）=
ax+b，f（x）=ax2+bx+c，f（x）=a•bx，其中a≠0；并求出此函數(shù)；
（Ⅱ）在日常生活中，黃瓜的價(jià)格除了與上市日期相關(guān)，與供給量也密不可分．已知供給量h（x）=
1
3
x-
5
18
（x∈N*）．在供給量的限定下，黃瓜實(shí)際價(jià)格g（x）=f（x）•h（x）．求黃瓜實(shí)際價(jià)格g（x）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點(diǎn)是F1（-2
2
，0），F(xiàn)2（2
2
，0），其上的動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|+|PF2|=4
3
．點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C的下頂點(diǎn)為R．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ） 設(shè)直線l1：y=x+2與橢圓C的交于A，B兩點(diǎn)，求過O，A，B三點(diǎn)的圓的方程；
（Ⅲ）設(shè)過點(diǎn)（0，1）且斜率為k的直線l2交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，試證明：無論k取何值時(shí)，
RM
•
RN
恒為定值．

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