Question

如圖，設(shè)圓（x-5）²+y²=16的圓心為C，此圓和拋物線(xiàn)y²=px（p＞0）有四個(gè)交點(diǎn)，若在x軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x₁，

px1

），B（x₂，

px2

）（x₁＜x₂），坐標(biāo)原點(diǎn)為O，△AOB的面積為S．
（1）求p的取值范圍；
（2）求S關(guān)于p的函數(shù)f（p）的表達(dá)式及S的最大值；
（3）求當(dāng)S取最大值時(shí)，向量

CA

與

CB

的夾角．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閳A和拋物線(xiàn)有四個(gè)交點(diǎn)，所以聯(lián)立兩個(gè)方程，消去y，根據(jù)圓和拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，得到的關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不同正根，據(jù)此可求出參數(shù)p的范圍．
（2）△AOB的面積可用

1

2

|AB|乘以O(shè)到AB的距離來(lái)計(jì)算，用弦長(zhǎng)公式計(jì)算|AB|，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式計(jì)算O到AB的距離，就可得到S關(guān)于p的函數(shù)f（p）的表達(dá)式，再根據(jù)（1）中所求p的范圍求最大值．
（3）用數(shù)量級(jí)的夾角公式計(jì)算即可．

解答：解：（1）把 y²=px代入（x-5）²+y²=16得 x²+（p-10）x+9=0
依題意得方程x²+（p-10）x+9=0有兩個(gè)不同的正根為x₁，x₂
∴x₁+x₂=10-p，x₁x₂=9，∴

p2-20p+64＞0 10-p＞0

解得p＜4又∵p＞0
∴p的取值范圍是（0，4）
（2）∵直線(xiàn)AB的斜率kAB=

px1 - px2

x1-x2

=

p

x1 + x2

∴AB的方程：y-

px1

=

p

x1 + x2

(x-x1)，
即 

p

x-(

x1

+

x2

)y+

px1x2

=0，即 

p

•x-

16-p

•y+3

p

=0
∴點(diǎn)O到AB的距離d=

3 p

4

，
又|AB|=

(x1-x2)2+p•( x1 - x2 )2

=

64-16p

∴S=f（p）=

1

2

64-16p

3 p

4

=

1

2

3	p(4-p)

≤3，
當(dāng)且僅當(dāng)p=2時(shí)S取最大值為3
（3）S取最大值時(shí)，p=2，解方程x²-8x+9=0，得A(4-

7

，

7

-1)，B(4+

7

，

7

+1)

CA

=(-

7

-1，

7

-1)，

CB

=（(

7

-1，

7

+1)，

CA

•

CB

=-6+6=0
∴向量

CA

，

CB

的夾角的大小為90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓與雙曲線(xiàn)位置關(guān)系的判斷，以及弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，用到公式較多，平時(shí)做題中應(yīng)注意積累．