Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-2x，g（x）=x²+m（m∈R），若對(duì)于函數(shù)y=f（x）中的任意實(shí)數(shù)x，在y=g（x）上總存在實(shí)數(shù)x₀，使得g（x₀）＜f（x）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：首先要理解任意和存在在題目中的意思，將原命題轉(zhuǎn)化為[g（x）]_min＜[f（x）]_min，構(gòu)造關(guān)于x不等式求解；

解答： 解：原命題可化為[g（x）]_min＜[f（x）]_min，
令f'（x）=e^x-2=0，得x=ln2．
當(dāng)x＞ln2時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＜ln2時(shí)，f'（x）＜0，
故當(dāng)x=ln2時(shí)，y=f（x）取得極（最）小值，其最小值為2-2ln2；
而函數(shù)y=g（x）的最小值為m，故當(dāng)m＜2-2ln2時(shí)，結(jié)論成立
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，2-2ln2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的最值．求解本題要熟練掌握導(dǎo)數(shù)求最值得方法．