Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（4x）•log₂（2x），其中

1

4

≤x≤8．
（1）若t=log₂x，求t取值范圍；
（2）求f（x）的最值，并給出對應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求t的范圍；
（2）化簡得f（x）=log²₂x+3log₂x+2，令t=log₂x，則y=t²+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，借助二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)f（x）的最值及相應(yīng)的x；

解答： 解：（1）∵t=log₂x，

1

4

≤x≤8，

1

4

≤x≤8．
∴l(xiāng)og₂

1

4

≤t≤log₂8，即-2≤t≤3．
（2）f（x）=log₂（4x）•log₂（2x）=（2+log₂x）（1+log₂x）=log²₂x+3log₂x+2，
∴令t=log₂x，則y=t²+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，
∴當t=-

3

2

即log₂x=-

3

2

，x=2-

3

2

時，f（x）_min=-

1

4

，
當t=3時即x=8時，f（x）_max=20．

點評：該題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題，合理進行換元是解題關(guān)鍵．