Question

【題目】已知橢圓和拋物線，在上各取兩個(gè)點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）設(shè)是在第一象限上的點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線與交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線與過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓及拋物線的性質(zhì)可得點(diǎn)，在橢圓上，點(diǎn)， 在拋物線上，分別代入求值，即可求得的方程；（Ⅱ）設(shè)（），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線的方程，再設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理及線段的中點(diǎn)為，可得點(diǎn)坐標(biāo)，即可表示出直線的方程，從而可得點(diǎn)在定直線上

詳解：（Ⅰ）由已知， 點(diǎn)，在橢圓上，所以 ，，

解得：，，所以：；

點(diǎn)， 在拋物線上，所以，所以：．

（Ⅱ）設(shè)（），由得，所以切線的方程為：.

設(shè)，，由得：，

由，得，代入得.

∴

∴：

由得，所以點(diǎn)在定直線上．