Question

1．已知定義域為R的函數(shù)f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，且當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-2
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象并指出它的單調(diào)區(qū)間．
（3）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件①變形，得到f（x）在定義域內(nèi)是奇函數(shù)，設(shè)x小于0，得到-x大于0，代入②中f（x）的解析式中化簡后即可得到x小于0時f（x）的解析式，綜上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函數(shù)解析式；當(dāng)x=0時f（x）=0；
（2）分段畫出f（x）的圖象．
（3）由圖象可知函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵對于f（x）定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有f（-x）+f（x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在其定義域R內(nèi)是奇函數(shù)，
所以f（0）=0
∵當(dāng)x＞0時，f（x）=x²-2，
設(shè)x＜0，所以-x＞0，
∴f（-x）=-f（x）=x²-2，即f（x）=2-x²，
則 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，x＞0}\\{0，x=0}\\{2-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）函數(shù)f（x）的圖象為：

（3）由圖象可知，值域為R．

點評 此題要求學(xué)生掌握奇函數(shù)的性質(zhì)及確定方法，考查了一元二次不方程的解法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．