Question

已知{a_n}中，a_n+1=

an

2an+1

，a₁=1，則a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由遞推公式求出數(shù)列的前四項，由此猜想a_n=

1

2n-1

．從而能求出a₂₀₁₄的值．

解答： 解：∵a_n+1=

an

2an+1

，a₁=1，
∴

a

2

=

1

2+1

=

1

3

，
a₃=

1 3

2× 1 3 +1

=

1

5

，
a4=

1 5

2× 1 5 +1

=

1

7

，
由此猜想a_n=

1

2n-1

．
當(dāng)n=1時，a1=

1

2×1-1

=1，成立，
假設(shè)n=k時成立，即an=

1

2n-1

，
∴當(dāng)n=k+1時，a_n+1=

an

2an+1

=

1 2n-1

2× 1 2n-1 +1

=

1

2n+1

=

1

2(n+1)-1

，也成立，
∴an=

1

2n-1

，
∴a₂₀₁₄=

1

2×2014-1

=

1

4027

．
故答案為：

1

4027

．

點評：本題考查數(shù)列的第2014項的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．