Question

4．給出下列四個命題：
①函數(shù)y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+2|-2}$為奇函數(shù)；
②若非零向量$\overrightarrow{a}$=（1，m+3）和$\overrightarrow$=（m，4）夾角為銳角，則實數(shù)m的取值范圍是$（-\frac{3}{5}，+∞）$；
③函數(shù)$y={2^{\frac{1}{x}}}$的值域是（0，+∞）；
④若函數(shù)f（2x）的定義域為[1，2]，則函數(shù)f（2^x）的定義域為[1，2]；
⑤函數(shù)y=lg（-x²+2x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1]．
其中正確命題的序號是①④⑤．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{|x+2|≠2}\end{array}\right.$，解得-1≤x≤1，且x≠0，其定義域關(guān)于原點對稱，函數(shù)y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+2|-2}$=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，又f（-x）=-f（x），即可判斷出奇偶性；
②若非零向量$\overrightarrow{a}$=（1，m+3）和$\overrightarrow$=（m，4）夾角為銳角，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=m+4（m+3）＞0，且m（m+3）≠4，解得m范圍，即可判斷出正誤；
③由$\frac{1}{x}$≠0，可得${2}^{\frac{1}{x}}$≠1，即可得出函數(shù)$y={2^{\frac{1}{x}}}$的值域；
④由函數(shù)f（2x）的定義域為[1，2]，可得1≤x≤2，2≤2x≤4，可得2≤2^x≤4，解得x范圍即可得出函數(shù)f（2^x）的定義域；
⑤由-x²+2x＞0，解得0＜x＜2．利用對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法即可得出即可得出函數(shù)y=lg（-x²+2x）=lg[-（x-1）²+3]的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：①由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{|x+2|≠2}\end{array}\right.$，解得-1≤x≤1，且x≠0，其定義域{x|-1≤x≤1，且x≠0}關(guān)于原點對稱，∴函數(shù)y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+2|-2}$=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，又f（-x）=$\frac{\sqrt{1-（-x）^{2}}}{-x}$=-f（x）
∴函數(shù)y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+2|-2}$為奇函數(shù)，正確；
②若非零向量$\overrightarrow{a}$=（1，m+3）和$\overrightarrow$=（m，4）夾角為銳角，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=m+4（m+3）＞0，且m（m+3）≠4，解得$m＞-\frac{12}{5}$，且m≠1．因此不正確；
③∵$\frac{1}{x}$≠0，∴${2}^{\frac{1}{x}}$≠1，函數(shù)$y={2^{\frac{1}{x}}}$的值域是（0，1）∪（1，+∞），因此不正確；
④若函數(shù)f（2x）的定義域為[1，2]，∴1≤x≤2，2≤2x≤4，∴2≤2^x≤4，解得1≤x≤2，則函數(shù)f（2^x）的定義域為[1，2]，正確；
⑤由-x²+2x＞0，解得0＜x＜2．函數(shù)y=lg（-x²+2x）=lg[-（x-1）²+3]的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1]，正確．
其中正確命題的序號是 ①④⑤．
故答案為：①④⑤．

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、向量夾角公式與數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．